Question

Помогите решить предел. lim x^(2)*ctg(2x)/sin(3x) при x=>0

Answer 1

Lim         x^{2} ctg2x\ sin3x [sin3x]=lim   x^{2}ctg2x\3x= lim    x ctg2x\3=1\3   lim   x ·
x ⇒0                                             x⇒0                      x⇒0                         x⇒0
cos2x\sin2x=1\3    lim   x· cos2x\sin2x · 2x\2x=1\3   lim   1\2 cos2x=1\6  lim cos2x=1\6
                           x⇒0                                          x⇒0                        x⇒0

Answer 2

Чтобы найти предел этой функции при x → 0, воспользуемся правилом Лопиталя, которое позволяет найти предел неопределённости вида 0/0:

lim(x → 0) [x^2 * ctg(2x) / sin(3x)]

Сначала вычислим производные числителя и знаменателя по x:

f(x) = x^2 * ctg(2x) g(x) = sin(3x)

f'(x) = 2x * ctg(2x) - x^2 * 2ctg(2x) * csc^2(2x) g'(x) = 3cos(3x)

Теперь посчитаем предел отношения производных при x → 0:

lim(x → 0) [f'(x) / g'(x)] = lim(x → 0) [(2x * ctg(2x) - x^2 * 2ctg(2x) * csc^2(2x)) / (3cos(3x))]

Для упрощения рассмотрим каждое слагаемое в числителе отдельно:

lim(x → 0) [2x * ctg(2x)] = 0, так как ctg(2x) имеет предел 0 при x → 0, а x → 0

lim(x → 0) [x^2 * 2ctg(2x) * csc^2(2x)] = 0, так как x^2 стремится к 0 быстрее, чем ctg(2x) и csc^2(2x)

Теперь осталось рассмотреть знаменатель:

lim(x → 0) [3cos(3x)] = 3cos(0) = 3

Теперь вычислим предел функции, подставив полученные значения:

lim(x → 0) [f'(x) / g'(x)] = (0 - 0) / 3 = 0 / 3 = 0

Таким образом, предел функции lim(x → 0) [x^2 * ctg(2x) / sin(3x)] равен 0.