Question

Помогите пожалуйста исследовать на сходимость ряд: cos(3^n)/3^n

Answer 1

|cos(3^n)/3^n| < 1/3^n, ряд 1/3^n сходится (геометрическая прогрессия с знаменателем 1/3 < 1), тогда по признаку сравнения сходится ряд из модулей и тем более сходится исходный ряд.

Ряд сходится абсолютно

Answer 2

Чтобы исследовать сходимость ряда $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(3^n)}{3^n}$, мы можем применить признак сравнения.

Поскольку $\cos(3^n)$ ограничено значениями от -1 до 1, а $3^n$ растет экспоненциально, то $\frac{\cos(3^n)}{3^n}$ будет стремиться к нулю при $n \to \infty$.

Мы можем использовать сравнение с рядом $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}$, который является геометрической прогрессией с $r = \frac{1}{3}$.

Применим признак сравнения: $\left|\frac{\cos(3^n)}{3^n}\right| \leq \frac{1}{3^n}$.

Так как ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}$ сходится (это геометрическая прогрессия с $r < 1$), то исходный ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(3^n)}{3^n}$ сходится по признаку сравнения.

Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(3^n)}{3^n}$ является сходящимся.