Question

Дано число √(7+4√(3 )) -√3 Рациональное оно или иррациональное? Привести доказательство.

Answer 1

Иррациональное так как есть корень из непарного числа

Answer 2

Для доказательства того, что число √(7+4√(3)) - √3 является иррациональным, мы должны предположить обратное, то есть предположить, что оно является рациональным, а затем привести противоречие.

Предположим, что √(7+4√(3)) - √3 является рациональным числом и обозначим его за q, где q - рациональное число. Тогда мы можем записать:

√(7+4√(3)) - √3 = q

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(√(7+4√(3)) - √3)^2 = q^2

7 + 4√(3) - 2√(7+4√(3))√3 + 3 = q^2

Упростим это уравнение:

10 + 4√(3) - 2√(7+4√(3))√3 = q^2

Теперь давайте сосредоточимся на втором члене, -2√(7+4√(3))√3. Раскроем его:

-2√(7+4√(3))√3 = -2√(3(7+4√(3))) = -2√(21 + 12√(3))

Теперь вернемся к уравнению:

10 + 4√(3) - 2√(7+4√(3))√3 = q^2

Мы видим, что левая часть уравнения содержит какое-то число (10 + 4√(3)), которое является иррациональным, так как √(3) является иррациональным.

Теперь давайте предположим, что q^2 является рациональным числом, обозначим его как p^2, где p - рациональное число. Тогда уравнение может быть записано следующим образом:

10 + 4√(3) - 2√(21 + 12√(3)) = p^2

Теперь рассмотрим второй член -2√(21 + 12√(3)). Если мы предположим, что он является рациональным числом, то √(21 + 12√(3)) также должно быть рациональным числом. Однако, это противоречит известному факту, что √(21 + 12√(3)) является иррациональным числом (вычисленное значение приближено равно 4.3028).

Таким образом, мы получили прот