Question

Как изменится определитель порядка n если у всех его элементов изменит знак на противоположный

Answer 1

Решение:

Решается через  свойство определителя, которое гласит, что "Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k".

Таким образом, если число строк чётное, то определитель не меняется, так как мы умножаем на -1 чётное количество раз, другими словами возводим в чётную степень. И наоборот, если количество строк не чётное, то определитель сменит знак на противоположный.

Аналогично и для столбцов.

Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: B = k·A => det(B) = kⁿ·det(A), где A матрица n×n, k - число.

Answer 2

Если вы измените знаки всех элементов определителя порядка n на противоположные, то новый определитель будет равен противоположному числу исходного определителя. Другими словами, если исходный определитель равен det(A), то новый определитель будет равен -det(A).

Математически это можно записать следующим образом:

det(A') = -det(A),

где det(A') обозначает новый определитель, полученный путем изменения знаков всех элементов определителя A.

Это свойство справедливо для определителей любого порядка. Таким образом, изменение знаков всех элементов определителя приведет к изменению его знака на противоположный.