Question

Доказать, чточисло (nв квадрате + n): 2 является целым, если n - целое число

Answer 1

n²+n = n(n+1)

это произведение двух последовательных чисел, а это значит, что одно из них обязательно четное число и делится на 2 без остатка (нацело), т.е. является ЦЕЛЫМ.

например,

если n - четное, то n+1 - нечетное

если n - нечетное, то n+1 - четное

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, необходимо показать, что выражение $\frac{{n^2 + n}}{2}$ является целым числом для любого целого числа $n$.

Можно воспользоваться методом математической индукции, чтобы доказать это утверждение.

Шаг 1: База индукции Для $n = 0$ получаем: $\frac{{0^2 + 0}}{2} = 0$, что является целым числом.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что выражение $\frac{{n^2 + n}}{2}$ является целым числом для некоторого целого числа $n = k$, где $k$ - произвольное целое число.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что выражение $\frac{{n^2 + n}}{2}$ также является целым числом для $n = k + 1$: $\frac{{(k + 1)^2 + (k + 1)}}{2} = \frac{{k^2 + 2k + 1 + k + 1}}{2} = \frac{{k^2 + 3k + 2}}{2} = \frac{{(k^2 + k) + (2k + 2)}}{2}$. Заметим, что $k^2 + k$ является целым числом, так как мы предположили, что $\frac{{n^2 + n}}{2}$ является целым числом для $n = k$. Кроме того, $2k + 2$ также является целым числом, так как произведение или сумма целых чисел также является целым числом. Таким образом, сумма двух целых чисел $(k^2 + k)$ и $(2k + 2)$ также является целым числом. И деление этой суммы на 2 также даст целое число. Таким образом, мы доказали, что если $\frac{{n^2 + n}}{2}$ является целым числом для $n = k$, то оно также является целым числом для $n = k + 1$.

С учетом базы индукции и индукционного перехода, мы можем заключить, что выражение $\frac{{n^2 + n}}{2}$ является целым числом для любого целого числа $n$.