Question

X^3y'+x^2y+x+1=0. Помогите решить, пожалуйста. ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

вот

Answer 2

Это уравнение является линейным уравнением Бернулли. Чтобы решить его, мы можем сделать замену переменных.

Пусть u = y/x. Тогда y = ux, и y' = u'x + u. Подставим это в исходное уравнение:

x^3(u'x + u) + x^2(ux) + x + 1 = 0.

Упростим уравнение:

x^4u' + x^3u + x^3u + x + 1 = 0, x^4u' + 2x^3u + x + 1 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение методом переменных. Разделим на x^4:

u' + (2/x)u + (1/x^4) = -1/x^4.

Обозначим (1/x^4) как z:

u' + (2/x)u = -z.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Мы можем использовать метод интегрирующего множителя для его решения.

Найдем множитель интегрирования. Умножим уравнение на x^2:

x^2u' + 2xu = -xz.

Теперь заметим, что левая часть является производной от (x^2u). Умножим уравнение на e^(∫(2/x)dx):

e^(∫(2/x)dx)(x^2u' + 2xu) = -e^(∫(2/x)dx)xz.

Применим правило производной произведения и проинтегрируем левую часть:

(x^2u)' = -e^(2ln|x|)xz, (x^2u)' = -x^2z.

Интегрируем обе части уравнения:

∫(x^2u)'dx = -∫x^2zdx, x^2u = -∫x^2zdx.

Вычислим интеграл ∫x^2zdx:

∫x^2zdx = ∫x^2(1/x^4)dx = ∫dx = x + C,

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, получаем:

x^2u = -(x + C).

Разделим уравнение на x^2:

u = -(1/x) - C/x^2.

Теперь мы должны восстановить переменные. Подставим обратную замену y = ux:

y = x(-(1/x) - C/x^2) = -1 - C/x.

Итак, решением исходного дифференциального уравнения является y = -1 - C/x, где C - произвольная постоянная.