Question

вычеслить интегралы не кратко расписанно помогите ( интеграл в квадрате ,сверху 4xdx с низу в корне 1+2x в квадрате

Answer 1

$=\int\limits^2_0 {\frac{d(1+2x^2)}{\sqrt{1+2x^2}}} =$
$= \int\limits^2_0 {2d(\sqrt{1+2x^2}) } = 2\sqrt{1+2x^2}|\limits^2_0=$
$=2\sqrt{1+2\cdot 2^2} - 2\sqrt{1+2\cdot 0} = 2\cdot \sqrt{9} - 2 =$
$= 2\cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$.

Answer 2

Для вычисления данного интеграла вам потребуется использовать метод замены переменной.

1. Начнем с замены переменной: Положим u = 1 + 2x. Тогда du/dx = 2, и dx = du/2.

2. Заменяем пределы интегрирования: Когда x = 0, соответствующее значение u = 1 + 2 * 0 = 1. Когда x = 4, соответствующее значение u = 1 + 2 * 4 = 9.

3. Выражаем исходный интеграл через новую переменную: Заменяем x и dx в исходном интеграле: ∫[0,4] x dx = ∫[1,9] (u - 1)/2 du.

4. Упрощаем выражение: Разделим (u - 1)/2 на два отдельных интеграла: ∫[1,9] (u - 1)/2 du = (1/2) ∫[1,9] u du - (1/2) ∫[1,9] 1 du.

5. Вычисляем интегралы: (1/2) ∫[1,9] u du = (1/2) * (u^2/2) |[1,9] = (1/2) * ((9^2/2) - (1^2/2)) = (1/2) * (81/2 - 1/2) = (80/4) = 20.

   (1/2) ∫[1,9] 1 du = (1/2) * u |[1,9] = (1/2) * (9 - 1) = (1/2) * 8 = 4.

6. Вычисляем итоговый результат: Исходный интеграл ∫[0,4] x dx = (1/2) ∫[1,9] (u - 1)/2 du = 20 - 4 = 16.

Таким образом, значение данного интеграла равно 16.