Question

После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 7 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 8 – тоже остается неполный ряд, в котором на 5 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 7. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Answer 1

"если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает"Значит плиток меньше, чем 100 штук.При укладывании по 8 плиток в неполном ряду может быть только 7 плиток, т.к. при укладывании по 9 плиток получается неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше. То есть 1 плитка.Нужно найти такое число меньше 100, которое при делении на 8 даёт остаток 7, а при делении на 9 - остаток 1. Это число 55.55:8 = 6 (ост. 7)55:9 = 6 (ост. 1)
Ответ: 55 плиток.

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть общее количество плиток, которое осталось после строительства дома, равно N.

Укладывая плитки по 10 в ряд, мы получаем прямоугольную площадку без недостающих плиток. Это означает, что N не делится на 10 без остатка.

При укладывании плиток по 7 в ряд остается один неполный ряд. Это означает, что (N-1) делится на 7 без остатка.

При укладывании плиток по 8 в ряд также остается неполный ряд, но он содержит на 5 плиток меньше, чем неполный ряд при укладывании по 7. Это означает, что (N-1) - 5 делится на 8 без остатка.

Исходя из этих условий, мы можем составить следующую систему уравнений:

N ≢ 0 (mod 10) (N-1) ≡ 0 (mod 7) (N-1) - 5 ≡ 0 (mod 8)

Решим эту систему уравнений.

Из второго уравнения (N-1) ≡ 0 (mod 7), следует, что N ≡ 1 (mod 7).

Подставим это значение в третье уравнение:

(N-1) - 5 ≡ 0 (mod 8) N - 6 ≡ 0 (mod 8) N ≡ 6 (mod 8)

Теперь у нас есть два уравнения:

N ≡ 1 (mod 7) N ≡ 6 (mod 8)

Найдем наименьшее число, которое удовлетворяет этим условиям. Мы можем использовать китайскую теорему об остатках для решения этой системы уравнений.

Из китайской теоремы об остатках следует, что решение системы уравнений N ≡ 1 (mod 7) и N ≡ 6 (mod 8) будет иметь вид:

N ≡ 1 * 8 * (8^-1 mod 7) + 6 * 7 * (7^-1 mod 8) (mod 56)

Рассчитаем обратные элементы:

8^-1 mod 7 = 1 7^-1 mod 8 = 7

Подставим значения в уравнение:

N ≡ 1 * 8 * 1 + 6 * 7 * 7 (mod 56) N ≡ 8 + 294 (mod 56) N ≡ 302 (mod 56) N ≡ 46 (mod 56)

Таким образом, остаток N при делении на 56 равен 46.

Значит, после строительства дома остал