Question

Найдите точки экстремума функции у = 1+2x^2-x^4

Answer 1

Находим производную функции приравниваем к нулю у'=4х-4х^3=0.
Находим корни: х=0, х=1, х=-1. Это и будут точки экстремумов.

Answer 2

Решение
Находим первую производную функции:
y' = -4x³+4x
или
y' = 4x*  (-x²+1)
Приравниваем ее к нулю:
-4x³+4x = 0
4x(x² - 1) = 0
4x = 0
x₁  = 0
x² - 1 = 0
x₂= 1
x₃ = -1
Вычисляем значения функции 
f(-1) = 2
f(0) = 1
f(1) = 2
Ответ: fmin  = 1, fmax  = 2
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = -12x²+4
Вычисляем:
y''(-1) = - 8 < 0 - значит точка x = -1 точка максимума функции.
y''(0) = 4 > 0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.
y''(1) = - 8 < 0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.

Answer 3

Для нахождения точек экстремума функции y = 1 + 2x^2 - x^4 необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

1. Найдём производную функции y по переменной x: y' = d/dx (1 + 2x^2 - x^4) = 0 + 2(2x) - 4x^3 = 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 4x(1 - x^2) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения x: a) 4x = 0 => x = 0 b) 1 - x^2 = 0 => x^2 = 1 => x = ±1

3. Теперь найдём соответствующие значения y для каждого найденного значения x: a) При x = 0: y = 1 + 2(0^2) - 0^4 = 1 b) При x = 1: y = 1 + 2(1^2) - 1^4 = 1 + 2 - 1 = 2 c) При x = -1: y = 1 + 2((-1)^2) - (-1)^4 = 1 + 2 - 1 = 2

Таким образом, получаем две точки экстремума функции y = 1 + 2x^2 - x^4: (0, 1) и (1, 2).