Question

Докажите что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма

Answer 1

Пусть ABCD - выпуклый четырёхугольник, E, F, G и H - середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Проведём диагональ AC. Отрезки EF и GH будут средними линиями треугольников ABC и ADC. По теореме о средней линии треугольника, эти отрезки параллельны AC, значит параллельны и друг другу. АНанлогично можно доказать параллельность отрезков EH и FG. Получается, что противоположные строны четырёхугольника EFGH параллельны, и УАПР - параллелограмм (по свойствам параллелограмма)

Answer 2

Для доказательства того, что середины сторон выпуклого четырёхугольника образуют параллелограмм, мы можем использовать свойство, известное как теорема Варингера.

Теорема Варингера гласит, что середины сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм.

Доказательство данной теоремы основано на использовании векторных свойств.

Пусть ABCD - выпуклый четырёхугольник, а M, N, P и Q - середины его сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Для начала, заметим, что сторона AB параллельна стороне CD, и сторона BC параллельна стороне AD. Это следует из того, что ABCD - выпуклый четырёхугольник.

Теперь рассмотрим векторы:

$\overrightarrow{AM}$ - вектор, соединяющий вершины A и M, $\overrightarrow{BN}$ - вектор, соединяющий вершины B и N, $\overrightarrow{CP}$ - вектор, соединяющий вершины C и P, $\overrightarrow{DQ}$ - вектор, соединяющий вершины D и Q.

По определению середины стороны, середина стороны AB равноудалена от вершин A и B, что можно записать как:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB})$ - (1)

Аналогично, для других середин сторон получаем:

$\overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC})$ - (2)

$\overrightarrow{CP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD})$ - (3)

$\overrightarrow{DQ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA})$ - (4)

Теперь докажем, что параллелограмм образуется, сравнивая векторы.

$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD})$ - из (1) и (3)

$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})$ - (5)

Аналогично, сложим векторы $\overrightarrow{BN}$ и $\overrightarrow{DQ}$:

$\overrightarrow{BN} + \overrightarrow{DQ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA})$ - (6)

Поскольку сторона AB параллельна стороне CD, а сторона