Question

Решить систему тригонометрического уравнения х-у=2π\3 cosx + cosy=1\2

Answer 1

Ответ:(2π/3+2πn; 2πn)  (2πk; -2π/3+2πk)  n и k принадлежат Z

Пошаговое объяснение:

{x-y=2π/3

{cosx+cosy=1/2

{x=2π/3+y

cos(2π/3+y)+cosy=1/2

cos2π/3·cosy-sin2π/3·siny+cosy=1/2

-1/2cosy-√3/2siny+cosy=1/2

1/2·cosy-√3/2·siny=1/2

sinπ/6·cosy-cosπ/6·siny=1/2

sin(π/6-y)=1/2

sin(-(y-π/6))=1/2

-sin(y-π/6)=1/2

sin(y-π/6)=-1/2

y-π/6=-π/6+2πn    y=2πn      x=2π/3+2πn     n принадлежит Z

y-π/6=-5π/6+2πk  y=-2π/3+2πk   x=2π/3-2π/3+2πk=2πk   k принадлежит Z

Answer 2

Для решения данной системы тригонометрического уравнения, мы можем воспользоваться методом подстановки. Предположим, что х равно некоторому углу α, а у равно некоторому углу β.

Исходя из первого уравнения, получаем: α - β = 2π/3 ---(1)

А из второго уравнения, получаем: cos α + cos β = 1/2 ---(2)

Теперь воспользуемся формулой сложения косинусов: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2)

Подставим эту формулу во второе уравнение: 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2) = 1/2

Упростим выражение, домножив обе части на 2: cos((α + β)/2) cos((α - β)/2) = 1/4

Теперь заметим, что правая часть равна 1/4, когда оба множителя находятся в интервале (0, 1). Это возможно только если каждый из них равен 1/2.

Таким образом, получаем два уравнения: cos((α + β)/2) = 1/2 ---(3) cos((α - β)/2) = 1/2 ---(4)

Используя таблицу значений косинуса, мы можем найти соответствующие значения углов.

Из уравнения (3) получаем: (α + β)/2 = π/3 α + β = 2π/3

Из уравнения (4) получаем: (α - β)/2 = π/3 α - β = 2π/3

Теперь решим полученную систему уравнений:

Добавим уравнение (1) к уравнению (2): 2α = 4π/3 α = 2π/3

Теперь найдем значение β, подставив α в уравнение (1): 2π/3 + β = 2π/3 β = 0

Таким образом, решение системы тригонометрических уравнений х-у=2π/3 cosx + cosy=1/2 равно: x = 2π/3 y = 0