Question

Cos2x=-cos6x Подробное решение пожалуйста

Answer 1

Чтобы решить уравнение cos(2x) = -cos(6x), давайте разложим оба косинуса с использованием формулы двойного аргумента:

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) cos(6x) = cos²(3x) - sin²(3x)

Теперь заменим исходное уравнение с использованием этих разложений:

cos²(x) - sin²(x) = - (cos²(3x) - sin²(3x))

Перепишем в терминах синуса:

1 - sin²(x) - sin²(x) = - (1 - sin²(3x) - sin²(3x))

Упростим:

2sin²(x) = 2sin²(3x)

Теперь мы можем упростить уравнение, разделив обе части на 2:

sin²(x) = sin²(3x)

Поскольку у нас есть квадраты, мы можем записать это уравнение в следующем виде:

sin(x) = ± sin(3x)

Теперь у нас есть два случая, которые мы рассмотрим отдельно:

1. sin(x) = sin(3x)

Здесь мы должны решить уравнение sin(x) = sin(3x). Для этого мы можем использовать тригонометрическое тождество:

sin(A) = sin(B) => A = B + 2πn или A = π - B + 2πn,

где n - целое число.

Применим это к нашему случаю:

x = 3x + 2πn или x = π - 3x + 2πn

Решим первое уравнение:

x = 2πn

Теперь решим второе уравнение:

4x = π + 2πn

x = (π + 2πn) / 4

2. sin(x) = -sin(3x)

Здесь мы должны решить уравнение sin(x) = -sin(3x). Снова воспользуемся тригонометрическим тождеством:

sin(A) = -sin(B) => A = π - B + 2πn,

где n - целое число.

Применим это к нашему случаю:

x = π - 3x + 2πn

Решим это уравнение:

4x = π + 2πn

x = (π + 2πn) / 4

Таким образом, решениями исходного уравнения cos(2x) = -cos(6x) являются:

x = 2πn, где n - целое число, x = (π + 2πn) / 4, где n - целое число.