Question

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, угол между боковым ребром плоскостью основания равен 30 градусам. Найдите боковое ребро пирамиды

Answer 1

См. рис.

Для нахождения бокового ребра рассмотрим треугольник SOC, в котором нам известен угол, а прилежащий катет мы можем найти.

АС - диагональ квадрата АВСД, т. О делит АС пополам, следовательно, ОС равен половине диагонали квадрата. ОС=6√2:2=3√2.

В треугольнике SOC через косинус угла в 30 градусов находим боковое ребро SC. SC= $3\sqrt{2} *\frac{2}{\sqrt{3} } =\frac{6\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =2\sqrt{6}$

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему косинусов. Обозначим боковое ребро пирамиды как "a". Также введем следующие обозначения:

• "b" - половина стороны основания пирамиды (так как сторона основания равна 6 см, то b = 3 см).
• "h" - высота пирамиды, опущенная из вершины на основание.
• "x" - расстояние от середины бокового ребра до основания пирамиды.

По условию задачи, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30 градусам. Так как в пирамиде выпуклый угол равен смежному отрицательному углу, то угол между боковым ребром и вертикальной плоскостью равен 150 градусам (180 - 30).

Мы можем разделить боковое ребро на две части по середине, получив два прямоугольных треугольника. Один из таких треугольников имеет гипотенузу "a", а катеты "b" и "x". Используя теорему косинусов для этого треугольника, мы можем выразить "x" через "a" и "b":

cos(150°) = x/a

cos(150°) = -√3/2

x/a = -√3/2

x = (-√3/2) * a

Также мы можем использовать другой прямоугольный треугольник с гипотенузой "a", катетом "x" и высотой "h". Снова, применяя теорему косинусов, мы можем выразить "h" через "a" и "x":

cos(90°) = h/a

cos(90°) = 0

h/a = 0

h = 0

Так как "h" равно 0, пирамида фактически становится четырехугольной пирамидой с основанием в форме треугольника. Основание треугольника имеет сторону "6 см", а боковые ребра пирамиды равны "a".

Таким образом, боковое ребро пирамиды "a" равно "x":

a = x = (-√3/2) * a

Решим уравнение:

a = (-√3/2) * a

2a = -√3 * a

2 = -√3

a = 2/(-√3)

a ≈ -1.155 с