Question

Найдите производную сложной функции z=x^2y^3+x, x=4−3t, y=2t^3+1 при t = 1.

Answer 1

Модераторы, удалите, пожалуйста, этот ответ. Он неверный.


2) производная x' = -t; x' = -1
3)y' = -3t²; y' = -3

Answer 2

Дано: z = x^2y^3 + x, x = 4 - 3t, y = 2t^3 + 1, t = 1

Для нахождения производной сложной функции необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки). Проделаем шаги поочередно.

Шаг 1: Найдем производную функции x по переменной t. dx/dt = d(4 - 3t)/dt = -3

Шаг 2: Найдем производную функции y по переменной t. dy/dt = d(2t^3 + 1)/dt = 6t^2

Шаг 3: Подставим значения x и y в функцию z и найдем производную z по переменной t, используя правило цепочки. dz/dt = dz/dx * dx/dt + dz/dy * dy/dt

Найдем каждое слагаемое отдельно.

• dz/dx = d(x^2y^3 + x)/dx = 2xy^3 + 1 Здесь нужно учесть, что x = 4 - 3t. Подставим это значение: dz/dx = 2(4 - 3t)(2t^3 + 1)^3 + 1

• dz/dy = d(x^2y^3 + x)/dy = 3x^2y^2 Здесь нужно учесть, что y = 2t^3 + 1. Подставим это значение: dz/dy = 3(4 - 3t)^2(2t^3 + 1)^2

Теперь вычислим каждое слагаемое при t = 1.

• dx/dt = -3

• dy/dt = 6t^2 Подставим t = 1: dy/dt = 6(1)^2 = 6

• dz/dx = 2(4 - 3t)(2t^3 + 1)^3 + 1 Подставим t = 1: dz/dx = 2(4 - 3(1))(2(1)^3 + 1)^3 + 1 = 2(4 - 3)(2 + 1)^3 + 1 = 2(1)(3)^3 + 1 = 2(27) + 1 = 55

• dz/dy = 3(4 - 3t)^2(2t^3 + 1)^2 Подставим t = 1: dz/dy = 3(4 - 3(1))^2(2(1)^3 + 1)^2 = 3(4 - 3)^2(2 + 1)^2 = 3(1)^2(3)^2 = 9(9) = 81

Теперь можем вычислить производную z по переменной t при t = 1:

dz/dt = dz/dx * dx/dt + dz/dy * dy/dt = (55)(-3) + (81)(6) = -165 + 486 = 321