Question

Число а - четное, не кратное 4. Докажите, что число а^2 при делении на 32 дает остаток 4. (нужен полный, развернутый ответ, со всеми доказательствами)

Answer 1

Если а четное и не кратное 4 то а=4к+2, где к - целое(4к+1 и 4к+3 будут нечетными, 4к будет кратно 4). Отсюда a^2=(4k+2)^2=16k^2+16k+4=16k(k+1)+4. Числа к и к+1 - два последовательных целых числа, то хотя бы одно из них кратно 2, то есть к(к+1) кратно 2 и 16к(к+1) кратно 32. Отсюда а^2=16k(k+1)+4, 16к(к+1) кратно 32, отсюда а^2 при делении на 32 даёт остаток 4

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая Проверим, что утверждение верно для наименьшего четного числа, не кратного 4. Пусть а = 2. Тогда a^2 = 4, и остаток от деления 4 на 32 действительно равен 4.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого четного числа a, не кратного 4. То есть, предположим, что a^2 при делении на 32 даёт остаток 4.

Шаг 3: Доказательство для (a + 2) Теперь докажем, что утверждение верно для числа (a + 2), где a - четное, не кратное 4. Рассмотрим (a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4. Заметим, что a^2 при делении на 32 даёт остаток 4 по предположению индукции. Также заметим, что 4a при делении на 32 также даёт остаток 4, поскольку a - четное. Следовательно, a^2 + 4a при делении на 32 даёт остаток 8. Добавление 4 не изменяет остаток от деления на 32, поэтому (a + 2)^2 при делении на 32 также даст остаток 4.

Шаг 4: Заключение Мы показали, что если утверждение верно для числа a, то оно также верно для числа (a + 2). Таким образом, по принципу математической индукции утверждение верно для любого четного числа a, не кратного 4.

Таким образом, мы доказали, что число а^2 при делении на 32 дает остаток 4 для любого четного числа а, не кратного 4.