Question

Пусть a+b=2 доказать, что a^4 + b^4 ≥2

Answer 1

Ответ:

Решение в приложении.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства неравенства a^4 + b^4 ≥ 2 при условии a + b = 2, мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим.

Неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим (неравенство Коши-Буняковского-Шварца) утверждает следующее:

(x^2 + y^2)(u^2 + v^2) ≥ (xu + yv)^2

Мы можем применить это неравенство к a и b:

(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a⋅1 + b⋅1)^2

(a^2 + b^2)(2) ≥ (a + b)^2

2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)^2

Разложим (a + b)^2:

2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)(a + b)

2(a^2 + b^2) ≥ a^2 + 2ab + b^2

Теперь, учитывая, что a + b = 2, мы можем заменить (a + b) в неравенстве:

2(a^2 + b^2) ≥ a^2 + 2ab + b^2

2(a^2 + b^2) ≥ a^2 + 2(2) + b^2

2(a^2 + b^2) ≥ a^2 + 4 + b^2

Вычтем a^2 и b^2 из обеих сторон неравенства:

a^2 + b^2 ≥ 4

Теперь мы видим, что a^2 + b^2 ≥ 4. Возводя обе части неравенства в степень 2, получим:

(a^2 + b^2)^2 ≥ 4^2

(a^2 + b^2)^2 ≥ 16

Возводим в степень 2 обе части неравенства, чтобы получить:

(a^2 + b^2)(a^2 + b^2) ≥ 16

(a^2 + b^2)(a^2 + b^2) ≥ (a^2 + b^2)⋅(a^2 + b^2)

Теперь заменим a^2 + b^2 на (a^2 + b^2)⋅1:

(a^2 + b^2)(a^2 + b^2) ≥ (a^2 + b^2)⋅(a^2 + b^2)

Теперь мы можем сократить (a^2 + b^2) с обеих сторон неравенства:

a^2 + b^2 ≥ a^2 + b^2

Таким образом, неравенство a^2 + b^2 ≥ a^2 + b^2 верно для любых значений a и b.

Мы доказали, что a^