Question

На плоскости из одной точки отложено 18 лучей. Какое наибольшее количество тупых углов могут образовывать пары этих лучей?

Answer 1

Тупой угол - это угол с градусной мерой больше 90° и меньше 180°. Из одной точки можно пустить три луча, которые между собой образуют 3 тупых угла.
Пустим 4-й луч вблизи одного из трёх лучей, у нас добавится дополнительно 2 тупых угла. 5-й луч пустим вблизи второго из числа первых трёх, дополнительно образуются 3 тупых угла. Наконец, пускаем 6-й луч вблизи третьего, получив дополнительно 4 тупых угла. У нас будет получаться как бы три пучка близко расположенных лучей в каждом пучке.
Считаем сколько получилось тупых углов после добаления к первым трём лучам ещё трёх лучей. 3 луча было, плюс 2, плюс 3 и плюс 4, всего 12 лучей.
Итак, для 3-х лучей - 3 тупых угла; для 6 лучей - 12 тупых углов.
Рассуждаем аналогично, добавляя по очереди ещё 3 луча. Добавятся сначало 4 угла, затем 5 и, наконец, 6; т.е. всего добавится 15 тупых углов. А всего для 9 лучей будет 27 тупых углов.
Точно также, считая для 12 лучей, получим дополнительно 6+7+8 = 21 тупых угла, а всего - 48.
Можно было бы и далее продолжать таким способом, но мы замечаем закономерность.
Пусть а1 = 3 - это первый член последовательности. Используя предыдущее значение (рекуррентно), можно вычислить следующее значение по формуле:
$a_n = a_{n-1} +2n -3$, где n - число лучей кратное 3.
Пробуем вычислить по этой формуле:

$a_9 = 12 +2*9 -3 =27 \\ \\ a_{12} = 27 +2*12 -3 =48 \\ \\ a_{15} = 48 +2*15 -3 =75 \\ \\ a_{18} = 75 +2*18 -3 = 108$

Итак, из 18 лучей максимально можно составить 108 тупых углов.

Answer 2

Наибольшее количество тупых углов можно образовать, если все 18 лучей будут направлены в одну точку, и каждый луч будет составлять тупой угол с каждым другим лучом.

Количество углов, образованных парами лучей, можно рассчитать по формуле сочетаний C(n, 2), где n - количество лучей. В данном случае, n = 18.

C(18, 2) = (18!)/(2!(18-2)!) = (1817)/(21) = 153

Таким образом, наибольшее количество тупых углов, которые могут образовывать пары этих 18 лучей, равно 153.