Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x^2+484)/x на отрезке [2;33]

Answer 1

y=(x^2+484)/x

Найдём производную

 

y' = ((x^2+484)/x) ' = (x^2+484)'*x-(x^2+484)*x'/(x^2) = (x^2-484)/x^2

 

Найдём крит. точки:

x^2-484=0

x= ±22, где x= -22 ∉[2;33] и x= 22 ∈[2;33]

 

Найдём дополнительные значения

y(2) = (4+484) / 2 = 244

y(22) = (484+484)/22 = 44

y(33) = 1573/33 ≈ 47,(6)

 

Значит, ymin = y(22) = 44

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции y = (x^2 + 484) / x на отрезке [2; 33], мы должны найти минимум функции в этом интервале.

Для начала найдем производную функции y по x:

y = (x^2 + 484) / x y' = (2x * x - (x^2 + 484)) / x^2 = (2x^2 - x^2 - 484) / x^2 = (x^2 - 484) / x^2 = (x + 22)(x - 22) / x^2

Уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции:

(x + 22)(x - 22) / x^2 = 0

Так как дробь равна нулю, числитель должен быть равен нулю:

x + 22 = 0 или x - 22 = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = -22 и x = 22.

Теперь проверим значения функции y в крайних точках интервала [2; 33] и в найденных критических точках:

y(2) = (2^2 + 484) / 2 = 244 y(33) = (33^2 + 484) / 33 ≈ 497/3 ≈ 165.67 y(-22) = (-22^2 + 484) / -22 = -440/22 = -20 y(22) = (22^2 + 484) / 22 = 528/22 = 24

Наименьшее значение функции получается в точке x = -22, где y = -20.