Question

Решить по правилу лопиталя  lim->0 (ctgx)^x

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (ctg\, x)^x=e^\big{\lim_{x \to 0} \ln (ctg\, x)^x}=e^\big{\lim_{x \to 0} \frac{\ln ctg\, x}{x^{-1}} }= \\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x \to 0} \frac{(\ln ctg\, x)'}{(x^{-1})'} }=e^\big{\lim_{x \to 0} \dfrac{ \frac{x^2}{\sin^2 x} }{ctg x} }=e^\big{\lim_{x \to 0} \frac{(x^2)'}{(\sin^2x\cdot ctg x)'} }=\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x \to 0} 2x(xctg x-1) }=e^0=1$

Answer 2

Для решения данной задачи применим правило Лопиталя, которое позволяет найти предел функции в виде неопределенности 0/0 или ∞/∞.

По правилу Лопиталя для функции f(x) = (ctgx)^x при x стремящемся к 0, вычислим производную функции в числителе и знаменателе:

f'(x) = d/dx [(ctgx)^x] = ln(ctgx) * (ctgx)^x (производная от (ctgx)^x) = ln(ctgx) * e^(x*ln(ctgx)) (выражение в экспоненциальной форме)

g'(x) = d/dx [x] = 1

Теперь мы можем вычислить предел, используя правило Лопиталя:

lim(x->0) (ctgx)^x = lim(x->0) f(x) / g(x) = lim(x->0) f'(x) / g'(x)

Подставим значения производных:

lim(x->0) (ctgx)^x = lim(x->0) [ln(ctgx) * e^(x*ln(ctgx))] / 1

Так как x стремится к 0, а ctgx ограничена, то можно записать:

lim(x->0) (ctgx)^x = ln(ctg0) * e^(0*ln(ctg0)) = ln(1) * e^0 = ln(1) * 1 = 0 * 1 = 0

Итак, предел функции (ctgx)^x при x стремящемся к 0 равен 0.