Question

Найдите производную у=sin^4 x cos 4x и вычислите у’(0)

Answer 1

Y` = 4*sin^3(x)*cos(x)*cos(4x) - 4*sin^4(x)*sin(4x)
y`(0) = 0

Answer 2

Для нахождения производной функции у=sin^4(x)cos(4x) воспользуемся правилом производной произведения функций.

Правило производной произведения функций (дифференцирование по правилу Лейбница) гласит: (d/dx)(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x),

где f(x) и g(x) - две функции, f'(x) и g'(x) - их производные по переменной x.

Применяя это правило к функции у=sin^4(x)cos(4x), получим:

у' = (d/dx)(sin^4(x)cos(4x)) = (d/dx)(sin^4(x))cos(4x) + sin^4(x)(d/dx)(cos(4x)).

Найдем производные слагаемых по отдельности:

(d/dx)(sin^4(x)) = 4sin^3(x)cos(x), (применяем правило степенной производной и цепное правило) (d/dx)(cos(4x)) = -4sin(4x) (производная cos(4x) равна -4sin(4x)).

Подставляем найденные значения обратно в у':

у' = 4sin^3(x)cos(x)cos(4x) + sin^4(x)(-4sin(4x)) = 4sin^3(x)cos(x)cos(4x) - 4sin^5(x)sin(4x) = 4sin^3(x)cos(x)cos(4x) - 4sin^6(x)sin(4x).

Теперь вычислим значение производной в точке x=0:

у'(0) = 4sin^3(0)cos(0)cos(4(0)) - 4sin^6(0)sin(4(0)) = 0.

Таким образом, у'(0) = 0.