Question

Решите неравенство 5^(х+2) + 5^(х+1) - 5^х < 3^(0,5х +1) - 3^0,5х - 3^(0,5х-1)

Answer 1

$5^{x+2} + 5^{x + 1} - 5^x < 3^{\frac{x}{2} + 1} - 3^{\frac{x}{2}} - 3^{\frac{x}{2} - 1}$

Перенесём всё в одну часть.

$5^{x+2} + 5^{x + 1} - 5^x - 3^{\frac{x}{2} + 1} + 3^{\frac{x}{2}} + 3^{\frac{x}{2} - 1} < 0$

$25*5^{x} + 5*5^{x} - 5^x - 3*3^{\frac{x}{2}} + 3^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{3}*3^{\frac{x}{2}} < 0$

$29*5^{x} - \frac{5}{3} * 3^{\frac{x}{2}} < 0$

Поделим обе части на $3^{\frac{x}{2}}$

$29 (\frac{25}{3})^{\frac{x}{2}}$

$(\frac{25}{3})^{\frac{x}{2}} < \frac{5}{87}$

Прологарифмируем по основанию $\frac{25}{3}$ и получим

$\frac{x}{2} < log_{\frac{25}{3}}(\frac{5}{87})\\x < 2log_{\frac{25}{3}}(\frac{5}{87})$

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Начнем с упрощения обоих сторон неравенства, используя свойства экспонент:

5^(х+2) + 5^(х+1) - 5^х < 3^(0,5х +1) - 3^0,5х - 3^(0,5х-1)

Приведем подобные слагаемые, учитывая, что 5^(х+2) = 5^х * 5^2 и 5^(х+1) = 5^х * 5^1:

5^х * 5^2 + 5^х * 5^1 - 5^х < 3^(0,5х +1) - 3^0,5х - 3^(0,5х-1)

Упростим это:

25 * 5^х + 5 * 5^х - 5^х < 3^(0,5х +1) - 3^0,5х - 3^(0,5х-1)

Объединим и упростим слева:

30 * 5^х - 5^х < 3^(0,5х +1) - 3^0,5х - 3^(0,5х-1)

Сократим 5^х на левой стороне и объединим 3^0,5х и 3^(0,5х-1) на правой стороне:

29 * 5^х < 3^(0,5х +1) - 2 * 3^0,5х

Теперь возведем обе стороны неравенства в степень 2 для устранения корня на правой стороне:

(29 * 5^х)^2 < (3^(0,5х +1) - 2 * 3^0,5х)^2

841 * (5^х)^2 < (3^(0,5х +1))^2 - 2 * 3^0,5х * 3^(0,5х +1) + (2 * 3^0,5х)^2

841 * (5^х)^2 < (3^(х + 2))^2 - 2 * 3^(х + 1) * 3^х + (2 * 3^х)^2

841 * (5^х)^2 < 9^(х + 2) - 2 * 9^х + 4 * 3^х

841 * 25^х < 9^х+2 - 2 * 3^х + 4 * 3^х

841 * 25^х < 9^х+2 + 2 * 3^х

Далее, заменим 841 на 29^2 и 25^х на (5^х)^2:

29^2 * (5^х)^2 < 9^х+2 + 2 * 3^х

29^2 * 5^2х < 9^х+2 + 2 * 3^х

841 * 25^х < 9^х+2 + 2 * 3^х

Теперь у на