Question

в треугольнике ABC найти периметр P, косинус угла при вершине B, проекцию вектора AB на векторе BC А(2, -4, -1) В(0, -3, -2) С(1, 6, 2)

Answer 1

1) Находим длины сторон треугольника.
АВ = √((0-2)²+(-3+4)²+(-2+1)²) = √(4+1+1) = √6 ≈  2,449490.
ВС = √((1-0)²+(6+3)²+(2+2)²) = √(1+81+16) = √98 ≈  9,899495.
АС = √((1-2)²+(6+4)²+(2+1)²) = √(1+100+9) = √110 ≈   10,488088.
Периметр равен  22.837073.

2)  $cos B= \frac{98+6-110}{2* \sqrt{98}* \sqrt{6} } =- \frac{6}{2*14 \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{14}$ ≈  -0,12372.
Угол В равен  1,694832 радиан или  97,10672 градуса.

3)  Проекция вектора AB на вектор BC равна: АВ1 = AB*cos A.
$cos A= \frac{6+110-98}{2* \sqrt{6}* \sqrt{110} } = \frac{18}{2* \sqrt{660} } = \frac{9}{2 \sqrt{165} } =0,350325.$  
Тогда АВ1 = √6*(9/2√165) =   (9√6)/(2√165) =  0.85811633.

Answer 2

Для решения задачи требуется найти периметр треугольника ABC, косинус угла при вершине B и проекцию вектора AB на вектор BC. Давайте начнем с вычисления периметра.

Периметр треугольника можно найти, вычислив длины всех его сторон и сложив их. Для вычисления длин сторон используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((0 - 2)^2 + (-3 - (-4))^2 + (-2 - (-1))^2) = √((-2)^2 + (1)^2 + (-1)^2) = √(4 + 1 + 1) = √6

Длина стороны BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((1 - 0)^2 + (6 - (-3))^2 + (2 - (-2))^2) = √((1)^2 + (9)^2 + (4)^2) = √(1 + 81 + 16) = √98 = 7√2

Длина стороны AC: AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((1 - 2)^2 + (6 - (-4))^2 + (2 - (-1))^2) = √((-1)^2 + (10)^2 + (3)^2) = √(1 + 100 + 9) = √110

Теперь мы можем вычислить периметр P, сложив длины всех сторон: P = AB + BC + AC = √6 + 7√2 + √110

Далее, для вычисления косинуса угла при вершине B мы можем воспользоваться формулой косинуса: cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

cos(B) = (√6^2 + (7√2)^2 - √110^2) / (2 * √6 * 7√2) = (6 + 98 - 110) / (2√6 * 7√2) = (104 - 110) / (2 * 7 * √6 * √2) = -6 / (14√12) = -3 / (7√3)

Наконец, для вычисления проекции вектора AB на вектор BC мы можем воспользоваться формулой проекции вектора A на вектор B: proj_AB_on_BC = (AB · BC) / |BC