Question

Решите пожалуйста f(x) = 2x+1/x^2 Найти промежутки возрастания и убывания функции. Найдите критические точки функции, определите, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума f(x) = 4x+5

Answer 1

Найти промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума. y= x^2*ln(x)
Функция определена при всех х>0 
Найдем производную функции
 y' =(x^2*ln(x))' = (x^2)' *ln(x)+x^2*(ln(x))' = 2x*ln(x) +x^2(1/x) = 
= x(2ln(x)+1) 
Найдем критические точки
y' =0 или x(2ln(x)+1) =0
     2ln(x)+1 = 0 или ln(х) =-1/2  
                              x = e^(-1/2) =1/e^(1/2) =0,606
На числовой оси отобразим знаки производной
..-..   0.......+...
!--------!------------------
0......0,606 .............
Поэтому функция возрастает если
 х принадлежит (0,606;+бесконечн)
Функция убывает если
х принадлежит (0;0,606)
В точке х=0,606 функция имеет локальный минимум
y( e^(-1/2) ) =   (e^(-1/2))^2*ln( e^(-1/2)) =e^(-1) *(-1/2) =-1/(2*e) = -0,18 
Локального максимума функция не имеет
  

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется найти производную функции f(x), а затем проанализировать её значения, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также критические точки.

Для функции f(x) = 2x + 1/x^2:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (2x + 1/x^2) = 2 - 2/x^3

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует: 2 - 2/x^3 = 0 2 = 2/x^3 x^3 = 1 x = 1

   Таким образом, критическая точка функции f(x) находится при x = 1.

3. Анализируем значения производной для определения промежутков возрастания и убывания функции:

   a) При x < 1: Выберем тестовую точку x = 0 (любое значение меньше 1). Подставим её в производную: f'(0) = 2 - 2/0^3 = 2 - 2/0 = 2 - ∞ = -∞ Производная отрицательна при x < 1, следовательно, функция убывает на промежутке (-∞, 1).

   b) При x > 1: Выберем тестовую точку x = 2 (любое значение больше 1). Подставим её в производную: f'(2) = 2 - 2/2^3 = 2 - 2/8 = 2 - 1/4 = 7/4 Производная положительна при x > 1, следовательно, функция возрастает на промежутке (1, +∞).

4. Определим, являются ли критические точки точками максимума или минимума функции:

   Для этого возьмем вторую производную f''(x) функции f(x): f''(x) = d^2/dx^2 (2 - 2/x^3) = 6/x^4

   Подставим x = 1, чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума или минимума: f''(1) = 6/1^4 = 6

   Значение второй производной положительно (f''(1) > 0), поэтому критическая точка x = 1 является точкой минимума функции f(x).

Таким образом, функция f(x) = 2x + 1/x^2 имеет промежуток убывания на (-∞, 1)