Question

С квадратного листа картона со стороной а вырезают с углов одинаковые квадраты , а с крестоподобной фигуры , которая образовалась склеивают прямоугольную коробку , какой должна быть сторона вырезанного квадрата , чтобы объём коробки был наибольшим ?

Answer 1

Обозначим сторону маленького квадрата за х. Тогда площадь основания коробки будет равна S=(a-2x)^2, а объем коробки будет равен V=(a-2x)^2*x=a^2*x-4*a*x^2+4*x^3.
Для нахождения максимума объема продифференцируем эту функцию по x, получим 12*x^2-8*a*x+a^2. Приравняем производную нулю и решим полученное уравнение относительно x:
x1,2=(8a+/-sqrt(64a^2-48a^2))/24=(8a+/-4a)/24
x1=1/6*a
x2=1/2*a
Очевидно, что при x=1/2*объем коробки равен 0, и равенство производной нулю в этой точке указывает на минимум функции объема (при изменении х от 0 до 1/2*a)..
А x=1/6*a является точкой максимума функции объема.
Ответ: сторона вырезаемого по углам квадрата должна быть равна 1/6 части стороны исходного квадрата.

Answer 2

Чтобы найти оптимальный размер стороны вырезанного квадрата, нужно определить, как изменяется объем коробки в зависимости от размера квадрата.

Предположим, что из каждого угла квадратного листа картона со стороной "а" мы вырезаем квадраты со стороной "х". Тогда длина и ширина получившейся прямоугольной коробки будет (а-2х), а высота будет равна "х".

Объем коробки V можно выразить следующим образом: V = длина * ширина * высота V = (а - 2х) * (а - 2х) * х V = х * (а - 2х)^2

Теперь нам нужно найти максимальное значение V в зависимости от значения "х". Для этого мы можем использовать метод дифференциального исчисления и найти экстремум функции V.

Для этого найдем производную функции V по "х" и приравняем ее к нулю: dV/dх = 0

dV/dх = (а - 2х)^2 - 2х * 2(а - 2х) = 0

Раскрываем скобки: (а - 2х)(а - 2х) - 4х(а - 2х) = 0 (а - 2х)[(а - 2х) - 4х] = 0 (а - 2х)(а - 2х - 4х) = 0 (а - 2х)(а - 6х) = 0

Таким образом, мы получаем два решения: а - 2х = 0 => х = а/2 а - 6х = 0 => х = а/6

Исходя из физических ограничений задачи, а > 0 и х > 0. Поэтому решение х = а/6 является единственным допустимым решением.

Таким образом, для того чтобы объем коробки был наибольшим, сторона вырезанного квадрата должна быть равна а/6.