Question

Схема дослідження графіка функції за допомою похідної 1/3x(3)+ 2x(2) помогите пожалуйста!

Answer 1

У=1/3х³+2х²
D(y)∈(-∞;∞)
y(-x)=-1/3x³+2x² ни четная и ни нечетная
x=0  y=0
y=0    x²(1/3x+2)=0⇒x=0 U x=-6
(0;0);(-6;0) точки пересечения с осями
y`=x²+4x=0
x(x+4)=0
x=0 U x=-4
               +                      _                    +
------------------(-4)-----------------(0)-------------------
возр              max  убыв        min  возр
ymax=y(-4)=-64/3+32=(-64+96)/3=32/3=10 2/3
ymin=y(0)=0
y``=2x+4=0
x=-2  y=-8/3+8=(-8+24)/3=16/3=5 1/3
(-2;5 1/3)-точка перегиба
                       _                          +
--------------------------------(-2)-----------------------
выпук вверх                          вогн вниз

Answer 2

Щоб дослідити графік функції за допомогою похідної, нам потрібно зрозуміти, як змінюється функція на різних інтервалах та знайти точки екстремуму та перегину.

Ось схема, яку можна використовувати для дослідження графіка функції за допомогою похідної:

1. Знайдіть похідну функції, обчисливши похідну кожного доданка окремо і застосувавши правила диференціювання.

   Для вашої функції, яка виглядає як 1/3x^3 + 2x^2, виконаємо диференціювання:

   f'(x) = (1/3) * 3x^2 + 2 * 2x

   Спрощення: f'(x) = x^2 + 4x

2. Знайдіть критичні точки, обчисливши значення x, для яких похідна дорівнює нулю або не існує.

   Розв'язуємо рівняння f'(x) = 0: x^2 + 4x = 0

   Факторизуємо: x(x + 4) = 0

   Отримуємо дві критичні точки: x = 0 і x = -4

3. Знайдіть інтервали зростання та спадання функції, використовуючи знаки похідної.

   Розглянемо три інтервали: (-∞, -4), (-4, 0) і (0, +∞).

   Підставимо значення з кожного інтервалу у похідну функцію, щоб визначити знаки:

   Для x < -4: Підставимо x = -5: f'(-5) = (-5)^2 + 4(-5) = 25 - 20 = 5 Знак: +

   Для -4 < x < 0: Підставимо x = -1: f'(-1) = (-1)^2 + 4(-1) = 1 - 4 = -3 Знак: -

   Для x > 0: Підставимо x = 1: f'(1) = (1)^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5 Знак: +