Question

Найти  неопределённый интеграл int cos^2x *sin x dx

Answer 1

$\\\int \cos^2 x\sin x\, dx=(*)\\ t=\cos x\\ dt=-\sin x\\ (*)=-\int u^2\, du=\\ -\frac{u^3}{3}=\\ -\frac{\cos^3 x}{3}$

Answer 2

Чтобы найти неопределенный интеграл $\int \cos^2 x \sin x \, dx$, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Для этого нам понадобится заменить $u$ и $dv$ в формуле интегрирования по частям, где $du$ - дифференциал от $u$, и $v$ - интеграл от $dv$.

В данном случае, давайте выберем $u = \cos^2 x$ и $dv = \sin x \, dx$. Тогда мы получим:

$du = -2\cos x \sin x \, dx$

$v = -\cos x$

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

$\int \cos^2 x \sin x \, dx = uv - \int v \, du$

$\int \cos^2 x \sin x \, dx = -\cos^2 x \cos x + \int \cos x \cdot 2\cos x \sin x \, dx$

$\int \cos^2 x \sin x \, dx = -\cos^2 x \cos x + 2\int \cos^2 x \sin x \, dx$

Теперь давайте переместим $2\int \cos^2 x \sin x \, dx$ на левую сторону:

$-\int \cos^2 x \sin x \, dx = \cos^2 x \cos x$

Теперь у нас есть уравнение с неопределенным интегралом слева и выражением справа. Чтобы найти значение неопределенного интеграла, нам нужно решить это уравнение относительно интеграла:

$\int \cos^2 x \sin x \, dx = -\cos^2 x \cos x + C$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл $\int \cos^2 x \sin x \, dx$ равен $-\cos^2 x \cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.