Question

При каких значениях параметра a уравнение ax²+2(a+6)x+24=0 имеет два различных корня?

Answer 1

4(a+6)² - 4*24a > 0 

4a² + 12*4a + 36*4 - 96a > 0 |:4

a² - 12a + 36 > 0

(a - 6)² > 0 

a ≠ 6

чтобы уравнение было квадратным, а ≠ 0

Ответ: a ≠ 6, a ≠ 0

Answer 2

Чтобы уравнение $ax^2 + 2(a+6)x + 24 = 0$ имело два различных корня, дискриминант $D$ должен быть положительным числом. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты уравнения.

В данном уравнении $a = a$, $b = 2(a+6)$ и $c = 24$. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (2(a+6))^2 - 4a \cdot 24$ $D = 4(a^2 + 12a + 36) - 96a$ $D = 4a^2 + 48a + 144 - 96a$ $D = 4a^2 - 48a + 144$

Теперь нам нужно найти значения параметра $a$, при которых $D > 0$:

$4a^2 - 48a + 144 > 0$

Это квадратное уравнение имеет положительный дискриминант, если его вершина находится выше оси $x$. То есть, уравнение имеет два различных корня, если $a$ принимает значения в интервале, где вершина уравнения выше нуля.

Чтобы найти вершину уравнения, воспользуемся формулой $x = -\frac{b}{2a}$:

$x = -\frac{-48}{2 \cdot 4} = -\frac{-48}{8} = 6$

Таким образом, вершина уравнения находится при $x = 6$. Если значение $a$ больше 6 или меньше 6, то вершина находится выше нуля, и уравнение имеет два различных корня. Таким образом, решением задачи является:

$a > 6 \quad \text{или} \quad a < 6$

То есть, при значениях параметра $a$ больше 6 или меньше 6 уравнение $ax^2 + 2(a+6)x + 24 = 0$ имеет два различных корня.