Question

Рівняння дотичної до лінії y= √x-√4 в точці з абмцисою x = 8.

Answer 1

Заданное уравнение y = √x - √4 равносильно уравнению y = √x - 2, так как из числа 4 извлекается арифметический корень.

Производная этой функции равна:

y' = 1/(2√x). для х = 8 y' = 1/(2√8) = 1/(4√2).

Значение функции в точке х = 8 равно:

у(8) = √8 - 2 = 2√2 - 2.

Тогда уравнение касательной имеет вид:

у(кас8) = у(8) + y'(8)*(x - 8) = 2√2 - 2 + (1/(4√2))*(x - 8) =

            = 2√2 - 2 + (x/(4√2)) - 2/√2 = (x/(4√2)) + √2 - 2.

Answer 2

Для знаходження рівняння дотичної до кривої в певній точці спочатку знайдемо похідну функції y = √x - √4.

Похідна функції y = √x - √4 може бути обчислена за допомогою правила ланцюжка:

d/dx (√x) = 1 / (2√x).

Таким чином, похідна функції y = √x - √4 буде:

dy/dx = 1 / (2√x).

Тепер можемо підставити значення x = 8 у похідну, щоб знайти нахил (градієнт) кривої в точці x = 8:

dy/dx = 1 / (2√8) = 1 / (2 * 2√2) = 1 / (4√2).

Тепер, знаючи нахил кривої в точці x = 8, ми можемо використовувати формулу для рівняння дотичної в точці (x0, y0):

y - y0 = m(x - x0),

де (x0, y0) - координати точки на кривій, m - нахил кривої в цій точці.

Підставимо відповідні значення:

x0 = 8, y0 = √8 - √4 = 2 - 2 = 0, m = 1 / (4√2).

Рівняння дотичної буде:

y - 0 = (1 / (4√2))(x - 8).

Можна спростити це рівняння:

y = (1 / (4√2))(x - 8).