Question

Найти производную функцииy=√x·(1+x²) при x=1

Answer 1

Дано: √x*(1+x²)

Найти: y'(x)=? - производную.

Пошаговое объяснение:

Преобразуем запись задачи.

y = (x³+x)¹/² - другая форма записи.

Дифференцируем и получаем.

y'(x) = 1/2*(3*x²+1)*(x³+x)-¹/² - ответ

Другая запись ответа

$y'(x)=\frac{3x^2+1}{2*\sqrt{x*(1+x^2)} }$ - ответ

Answer 2

Для нахождения производной функции y = √x · (1 + x²) сначала раскроем скобки:

y = √x + x²√x

Теперь найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Для первого слагаемого √x, используем правило дифференцирования степенной функции:

(dy/dx)₁ = (1/2) * x^(-1/2) = 1/(2√x)

Для второго слагаемого x²√x, применим правило дифференцирования произведения функций:

(dy/dx)₂ = (d/dx)(x²√x) = 2x√x + x² * (1/2) * x^(-1/2) = 2x√x + (1/2)x^(3/2) = 2x√x + (x√x)/2

Теперь найдем производную функции y, сложив производные каждого слагаемого:

(dy/dx) = (dy/dx)₁ + (dy/dx)₂ = 1/(2√x) + 2x√x + (x√x)/2

Теперь мы можем найти значение производной при x = 1, подставив x = 1 в выражение для (dy/dx):

(dy/dx)|x=1 = 1/(2√1) + 2(1)√1 + (1√1)/2 = 1/2 + 2 + 1/2 = 4

Таким образом, производная функции y = √x · (1 + x²) при x = 1 равна 4.