Question

Вася выбрал несколько различных натуральных чисел Среднее геометрическое двух самых маленьких из них равно 4,а среднее геометрические двух самых больших равно 15 Чему равна сумма всех Васиных чисел?

Answer 1

Средне-геометрическим двух неотрицательны чисел   $p$   и   $q$
называют величину   $G = \sqrt{ p \cdot q } \ .$

Если это выражение возвести в квадрат и слева и справа,
то мы получим, что:   $G^2 = ( \sqrt{ p \cdot q } )^2$

или просто:   $p \cdot q = G^2 \ ;$

Тогда условие задачи, можно переформулировать так: «произведение двух самых маленьких чисел равно   $4^2 = 16 \ ,$   а произведение двух самых больших равно   $15^2 = 225 \ .$   »


Произведение 16 можно составить из разных натруральных чисел
только двумя способами:

I.     $16 = 1 \cdot 16 \ ;$

II.     $16 = 2 \cdot 8 \ ;$


Поскольку это должны быть минимальные числа,
то остальные числа могут быть только больше.


I*   В первом случае остальные числа могут быть только больше    $16 \ ,$    т.е.:    $\{ 17, 18, 19, 20, 21 ... \} \ ;$

Но произведение даже $17 \cdot 18 = 306 > 225 \ ;$

И произведение любых двух чисел, больших, чем    $16$    каждое – будет, очевидно, больше чем    $16 \cdot 16 = 256 \ ,$    т.е. больше    $225 \ ,$     а значит, при выборе минимальных чисел в виде     $1$    и     $16$    – подобрать остальные числа невозможно.


II*   Во втором случае остальные числа могут быть только больше    $8 \ ,$    т.е.:    $\{ 9, 10, 11, 12, 13 ... \} \ ;$

Рассмотрим разложение на множители числа     $225 = 15^2 = 3^2 5^2 \ ;$

$225 = 1 \cdot 225 = 3 \cdot 75 = 5 \cdot 45 = 9 \cdot 25 = 15 \cdot 15 \ ;$

На подойдут только числа, большие восьми и не равные друг другу,
т.е.    $9$    и    $25 \ .$




Таким образом Вася выбрал числа $2, 8, 9$    и    $25 \ .$

В диапазон между     $2$    и    $8$     Вася никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда минимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы    $16 \ .$

Между     $8$    и    $9$     никаких натуральных чисел нет.

В диапазон между     $9$    и    $25$     Вася тоже никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда максимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы    $225 \ .$


Сумма всех Васиных чисел:     $2 + 8 + 9 + 25 = 44 \ ;$



О т в е т : $44 \ .$

Answer 2

Пусть наименьшее число, выбранное Васей, будет a, а наибольшее число будет b. Также пусть сумма всех чисел, выбранных Васей, будет S.

Из условия задачи, среднее геометрическое двух самых маленьких чисел равно 4, что означает, что √(ab) = 4.

Аналогично, среднее геометрическое двух самых больших чисел равно 15, что означает, что √(ab) = 15.

Из этих двух равенств можно заключить, что √(ab) = 4 = 15, что невозможно, поскольку 4 и 15 различные числа.

Следовательно, данная задача не имеет решения.