Question

докажите что четырехугольник с вершинами а(3.5.4) в(5 0 2) ромб. в(5 0 2) с 1 1 -2 Д -1 6 0 есть ромб

Answer 1

Четырехугольник является ромбом, если его стороны равны, а диагонали не равны и взаимно перпендикулярны.
Имеем вершины:А (3;5;4), В(5;0;2), С(1;1;-2) и Д (-1;6;0).
Находим длины сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= √33 ≈   5.74456,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = √33 ≈   5.74456,
CД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²+(Zд-Zс)²) = √33 ≈   5.74456,
АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²+(Zд-Zа)²)= √33 ≈   5.74456.

Находим диагонали:
 АC = √((-2)²+(-4)²+(-6)²) = √56 ≈   7.48331.
 ВД = √((-6)²+6²+(-2)²) = √ 76 ≈   8.717798.

Проверяем сумму квадратов половин диагоналей и квадрат стороны:
(АС/2)² + (ВД/2)² = (56/4) + (76/4) = 132/4 = 33.
АВ² = 33.
По Пифагору определяем, что диагонали составляют прямой угол.
Ответ: заданный четырёхугольник - ромб.

Answer 2

Для доказательства, что четырехугольник с вершинами A(3, 5, 4), B(5, 0, 2), C(1, 1, -2) и D(-1, 6, 0) является ромбом, мы должны проверить, выполняются ли следующие условия:

1. Все стороны равны между собой.
2. Противоположные стороны параллельны.

Для проверки первого условия, вычислим длины всех сторон:

AB = sqrt((5-3)^2 + (0-5)^2 + (2-4)^2) = sqrt(4 + 25 + 4) = sqrt(33)

BC = sqrt((1-5)^2 + (1-0)^2 + (-2-2)^2) = sqrt(16 + 1 + 16) = sqrt(33)

CD = sqrt((-1-1)^2 + (6-1)^2 + (0+2)^2) = sqrt(4 + 25 + 4) = sqrt(33)

DA = sqrt((3+1)^2 + (5-6)^2 + (4-0)^2) = sqrt(16 + 1 + 16) = sqrt(33)

Мы видим, что длины всех сторон AB, BC, CD и DA равны между собой и равны sqrt(33).

Теперь проверим второе условие, параллельность противоположных сторон. Для этого проверим, являются ли векторы AB и CD параллельными. Для этого вычислим векторное произведение этих векторов и проверим, равно ли оно нулевому вектору:

AB x CD = (5-3, 0-5, 2-4) x (-1-1, 6-1, 0+2) = (2, -5, -2) x (-2, 5, 2) = (10, 6, 24) - (-10, -5, -20) = (20, 11, 44)

Мы видим, что векторное произведение AB x CD не равно нулевому вектору. Это означает, что векторы AB и CD не параллельны, и противоположные стороны AB и CD не параллельны.

Таким образом, по условию не выполняются оба условия для ромба, и четырехугольник ABCD не является ромбом.