Question

Решите тригонометрическое уравнение: 4sin^2x+11sinx-3=0

Answer 1

Обозначим sinx=y
4y²+11y-3=0
d=121+4*4*3=169,  √d=13
y1=(-11+13)/8=2/8=1/4 , 
y2=(-11-13)/8=-24/8=-3 этот корень не подходит т.к. -1≤sinx≤1
sinx=1/4
x=(-1)^n*arcsin(1/4)+πn, n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала заменим sin(x) на переменную, скажем t. Тогда уравнение будет иметь вид:

4t^2 + 11t - 3 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. Но в данном случае, уравнение не факторизуется легко, поэтому воспользуемся формулой квадратного корня:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 4, b = 11 и c = -3.

Применяя формулу, получим:

t = (-11 ± √(11^2 - 4 * 4 * -3)) / (2 * 4),

t = (-11 ± √(121 + 48)) / 8,

t = (-11 ± √169) / 8,

t = (-11 ± 13) / 8.

Теперь рассмотрим два случая:

1. t = (-11 + 13) / 8 = 2 / 8 = 1/4.

Для этого значения t, найдем соответствующие значения sin(x):

sin(x) = 1/4.

Решим это уравнение, возьмем обратный синус от обеих сторон:

x = arcsin(1/4).

Так как arcsin возвращает значения только в диапазоне от -π/2 до π/2, получим:

x = π/6.

2. t = (-11 - 13) / 8 = -24 / 8 = -3.

Для этого значения t, найдем соответствующие значения sin(x):

sin(x) = -3.

Однако значение sin(x) не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому это решение недопустимо.

Таким образом, решением исходного уравнения 4sin^2x + 11sinx - 3 = 0 является x = π/6.