Question

111^11 или 11^111 Что больше и как доказать без калькулятора?

Answer 1

$11^{111} = 11^{2*50+11} = (11^{2})^{50}* 11 = 121^{50}* 11 \\ 111^{11} \ \textless \ 121^{11} \ \textless \ 121^{50} \ \textless \ 121^{50}*11$

Ответ:   $111^{11} \ \textless \ 11^{111}$

Answer 2

Чтобы определить, какое из чисел, 111^11 или 11^111, больше, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами степеней.

Первое число, 111^11, можно представить как (100 + 11)^11. Если мы применим бином Ньютона для раскрытия этой степени, то увидим, что все слагаемые, содержащие 11 в степени, будут больше, чем аналогичные слагаемые во втором числе. Таким образом, 111^11 будет больше, чем 11^111.

Мы можем объяснить это следующим образом: 111^11 представляет собой сумму 11 одинаковых множителей 111, тогда как 11^111 представляет собой сумму 111 одинаковых множителей 11. Поскольку каждый множитель в первом случае больше, чем каждый множитель во втором случае, сумма в первом случае будет больше.

Таким образом, 111^11 больше, чем 11^111, без необходимости использования калькулятора.