Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2-1, y=0, x=4 ,x=1​

Answer 1

ДАНО: y₁ = -x²-1,  y₂=0 - функции.

a = 1, b  = 4 - пределы интегрирования.

НАЙТИ: S = ? - площадь.

Пошаговое объяснение:

Площадь - интеграл разности функций.

s(x)  = y2 - y1 = x² + 1 - подинтегральная функция.

$S(x)=\int\limits^4_1 {(1+x^2)} \, dx=x+\frac{x^3}{3}$

Вычисляем на границах интегрирования.

S(4) = 4 + 21 1/3 = 25 1/3,   S(1) = 1 + 1/3 = 1 1/3 и находим разность

S = S(4)-S(1) = 25 1/3 - 1 1/3 =  24 - площадь - ответ.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем разделить ее на две части и вычислить площади каждой части отдельно.

Первая часть фигуры находится между кривой y = -x^2 - 1 и осью x (y = 0). Чтобы найти границы интегрирования, решим уравнение -x^2 - 1 = 0:

-x^2 - 1 = 0 -x^2 = 1 x^2 = -1 (не имеет решений в области действительных чисел)

Таким образом, первая часть фигуры имеет нулевую площадь.

Вторая часть фигуры находится между линиями x = 1 и x = 4. Это является отрезком на оси x, а высота фигуры равна максимальному значению y = -x^2 - 1 на этом интервале.

Максимальное значение функции y = -x^2 - 1 достигается в точке x = 2. Таким образом, высота фигуры на отрезке [1, 4] равна -2^2 - 1 = -5.

Площадь второй части фигуры равна длине отрезка, умноженной на высоту: S2 = (4 - 1) * (-5) = 3 * (-5) = -15.

Итак, общая площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 - 1, y = 0, x = 4 и x = 1, равна -15.