Question

Y''+4y'-3y=e^5x помогите пожалуйста :)

Answer 1

Y(x) = 1/8*exp(5*x)+1/8*exp(x)+11/4*exp(3*x) 

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно решить с помощью метода вариации произвольных постоянных. Давайте последовательно выполним несколько шагов, чтобы найти общее решение.

1. Найдем общее решение однородного уравнения: Y'' + 4Y' - 3Y = 0. Характеристическое уравнение: r^2 + 4r - 3 = 0. Решим характеристическое уравнение, найдя корни r: r1 = (-4 + sqrt(4^2 - 4*(-3))) / 2 = (-4 + sqrt(28)) / 2 = -2 + sqrt(7), r2 = (-4 - sqrt(4^2 - 4*(-3))) / 2 = (-4 - sqrt(28)) / 2 = -2 - sqrt(7).

   Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: Yh(x) = C1 * exp((-2 + sqrt(7)) * x) + C2 * exp((-2 - sqrt(7)) * x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения: Yp(x). Поскольку правая часть уравнения является экспонентой, предположим, что решение имеет вид Yp(x) = A * exp(5x), где A - постоянная, которую нужно найти.

   Подставим это предположение в исходное уравнение и найдем A: (A * exp(5x))'' + 4 * (A * exp(5x))' - 3 * (A * exp(5x)) = e^(5x). Проведя необходимые дифференцирования и сокращения, получим: 25A * exp(5x) + 20A * exp(5x) - 3A * exp(5x) = e^(5x).

   Таким образом, получаем: 42A * exp(5x) = e^(5x). A = 1/42.

   Частное решение неоднородного уравнения: Yp(x) = (1/42) * exp(5x).

3. Общее решение неоднородного уравнения: Y(x) = Yh(x) + Yp(x). Y(x) = C1 * exp((-2 + sqrt(7)) * x) + C2 * exp((-2 - sqrt(7)) * x) + (1/42) * exp(5x).

Таким образом, общее решение заданного дифференциального уравнения Y'' + 4Y' - 3Y = e^(5x) имеет вид: Y(x) = C1 * exp((-2 + sqrt(7)) * x) +