Question

Написать уравнения окружностей радиуса R=под корнем 5, касающихся прямой x-2y-1= 0 в точке М1(3; 1).

Answer 1

ДУМАЕМ.

1. Радиус окружности равен 5.

2. От прямой из точки М надо построить перпендикуляр и найти точку на расстоянии R =  √5.  Таких точек будет две. Рисунок к задаче в приложении.

РЕШЕНИЕ

Уравнение окружности:  (x-a)² + (y-b)² = R² = 5.  (R ≈ 2.24) - надо найти координаты центра окружности - О(a,b)

1) Уравнение касательной:  x - 2*y - 1 = 0 - преобразуем.

2*y = x - 1 и y = 0.5*x - 0.5 = k*x + b.

2) Уравнение перпендикуляра (радиуса)

у = - 2*х (+7 не влияет).

Отношение катетов 1 к 2. Вспоминаем теорему Пифагора.

Катеты оказались равными 1 и 2.

Находим координаты центра окружностей. Пишем уравнения окружностей.

Расчет - ОТВЕТ - на рисунке в приложении.

Answer 2

Чтобы найти уравнения окружностей, касающихся данной прямой и имеющих радиус R = √5, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем уравнение нормали к данной прямой, проходящей через точку M1(3, 1). Для этого возьмем коэффициенты при x и y в уравнении прямой и поменяем их местами, а затем умножим коэффициент при x на -1:

Уравнение прямой: x - 2y - 1 = 0

Нормаль: y + 2x - c = 0

где c - это константа, которую мы должны найти. Подставляя координаты точки M1 в уравнение нормали, мы можем найти c:

1 + 2(3) - c = 0 7 - c = 0 c = 7

Таким образом, уравнение нормали имеет вид: y + 2x - 7 = 0.

2. Теперь найдем точку касания окружности с нормалью. Поскольку окружность касается нормали в точке касания, координаты этой точки будут (a, b), где a и b - это корни уравнения нормали.

y + 2x - 7 = 0

Подставим a и b вместо x и y соответственно:

b + 2a - 7 = 0

3. Построим уравнение окружности, используя радиус R = √5 и координаты точки касания (a, b):

Уравнение окружности: (x - a)² + (y - b)² = R²

(x - a)² + (y - b)² = (√5)² (x - a)² + (y - b)² = 5

Таким образом, уравнение окружности радиуса R = √5, касающейся прямой x - 2y - 1 = 0 в точке М1(3, 1), будет иметь вид:

(x - a)² + (y - b)² = 5

где (a, b) - это координаты точки касания, которые можно найти из уравнения нормали.