Question

Докажите что точки принадлежащие биссектрисе угла, равно отстоят от сторон угла

Answer 1

Если два прямоугольных треугольника равны, значит и равны их соответствующие углы. Углы при вершине рассматриваемого угла, образованные проведенным отрезком от заданной точки до вершины, соответствующие, а значит, равны друг другу. То есть прямая, на которой лежит этот отрезок, является биссектрисой. На этой же прямой лежит и заданная по условию точка, то есть она принадлежит биссектрисе. 

Таким образом доказано, что точка равноудаленная от сторон угла лежит на его биссектрисе.

Answer 2

Пусть у нас есть угол ABC, и точка P лежит на его биссектрисе. Нам нужно доказать, что расстояния от точки P до сторон угла равны.

Для начала, рассмотрим треугольник ABP. Поскольку P лежит на биссектрисе угла ABC, угол APB должен быть равным углу CPB, так как они смотрят в одну и ту же сторону от биссектрисы. Это можно выразить следующим образом:

∠APB = ∠CPB ... (1)

Теперь рассмотрим треугольники APB и CPB. У них общая сторона BP, и углы ∠APB и ∠CPB равны, так как мы только что установили их равенство. Теперь рассмотрим сторону AB и сторону BC. Для того чтобы доказать, что расстояния от точки P до сторон угла равны, нам нужно показать, что соответствующие высоты треугольников APB и CPB равны.

Пусть H1 и H2 обозначают высоты треугольников APB и CPB соответственно. Тогда мы можем написать:

H1 = BP * sin(∠APB) ... (2) H2 = BP * sin(∠CPB) ... (3)

Из уравнений (1), (2) и (3) следует:

H1 = BP * sin(∠APB) = BP * sin(∠CPB) = H2

Таким образом, высоты треугольников APB и CPB равны, что означает, что расстояния от точки P до сторон угла AB и BC равны. Таким образом, мы доказали, что точки, принадлежащие биссектрисе угла, равно отстоят от сторон угла.