Question

Докажите что при любых значениях переменной справедливо неравенство a) с^2 - d^2 >= -2d^2 - 1 б)4c^2 + 9d^2 >= 12cd в)t(t+5) - 3>=3t-4

Answer 1

A) c^2+d^2+1 всегда положительное число
б) 4c^2-12cd+9d^2>=0
(2c-3d)^2 всегда положительное число
в) t^2+5t-3-3t+4>=0
(t+1)^2 всегда положительное число

Answer 2

a) Докажем неравенство с^2 - d^2 >= -2d^2 - 1 при любых значениях переменной.

Начнем с левой части неравенства: c^2 - d^2

Мы можем переписать эту разность квадратов как произведение суммы и разности: (c + d)(c - d)

Теперь рассмотрим правую часть неравенства: -2d^2 - 1

Мы видим, что правая часть состоит из двух слагаемых: -2d^2 и -1.

Теперь мы можем сравнить левую и правую части неравенства:

(c + d)(c - d) >= -2d^2 - 1

Обратим внимание на то, что (c + d)(c - d) является произведением двух множителей. Для доказательства неравенства достаточно доказать, что каждый из множителей больше или равен правой части.

1. (c + d) >= -2d^2 - 1
2. (c - d) >= -2d^2 - 1

Для первого неравенства (c + d) >= -2d^2 - 1 можно заметить, что сумма двух чисел всегда больше или равна каждому из чисел по отдельности. Таким образом, неравенство выполняется.

Для второго неравенства (c - d) >= -2d^2 - 1 можно заметить, что разность двух чисел также всегда больше или равна каждому из чисел по отдельности. Таким образом, и это неравенство выполняется.

Таким образом, мы показали, что оба множителя (c + d) и (c - d) больше или равны -2d^2 - 1, а значит и их произведение (c + d)(c - d) больше или равно -2d^2 - 1.

Таким образом, неравенство c^2 - d^2 >= -2d^2 - 1 справедливо при любых значениях переменной.

b) Докажем неравенство 4c^2 + 9d^2 >= 12cd при любых значениях переменной.

Рассмотрим левую часть неравенства: 4c^2 + 9d^2

Теперь рассмотрим правую часть неравенства: 12cd

Мы можем применить неравенство о средних для двух положительных чисел: (2c)^2 + (3d)^2 >= 2(2c)(3d)

Теперь мы видим, что левая часть неравенства является суммой квадратов