Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^2 - 2; y = 2x + 1

Answer 1

Найдем пределы интегрирования
x²-2=2x+1
x²-2x-3=0
x1+x2=2 U x1*x2=-3
x1=-1 U x2=3
Фигура ограничена сверху прямой,а снизу параболой
Площадь равна интегралу от -1 до 3 от функции 3+2х-х²
S=3x+x²-x³/3|3-(-1)=9+9-9+3-1-1/3=10 2/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения. Далее мы найдем интеграл от разности уравнений этих кривых между соответствующими значениями x, чтобы получить площадь между ними.

Для начала найдем точки пересечения кривых, приравняв уравнения друг к другу:

x^2 - 2 = 2x + 1

Перепишем это уравнение в виде квадратного уравнения:

x^2 - 2x - 3 = 0

Факторизуем его или воспользуемся квадратным корнем:

(x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 3 и x = -1.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, используя интеграл. Найдем интеграл от разности уравнений между этими значениями x:

Площадь = ∫[a, b] (y2 - y1) dx

где a = -1 и b = 3.

Рассчитаем значение интеграла:

Площадь = ∫[-1, 3] ((2x + 1) - (x^2 - 2)) dx

= ∫[-1, 3] (2x + 1 - x^2 + 2) dx

= ∫[-1, 3] (-x^2 + 2x + 3) dx

Вычислим интеграл:

Площадь = [-x^3/3 + x^2 + 3x] [-1, 3]

= [-(3^3)/3 + (3^2) + 3(3)] - [(-(-1)^3/3 + (-1)^2 + 3(-1))]

= [-27/3 + 9 + 9] - [1/3 + 1 + (-3)]

= [-9 + 9 + 9] - [1/3 + 1 - 3]

= 9

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 2 и y = 2x + 1, равна 9.