Question

Найдите все пары (m,n) натуральных чисел, для которых m^2=n^2+75.

Answer 1

M ^ 2 =  n ^ 2 + 75
m ^ 2 - n ^ 2 = 75
(m + n)(m - n) = 75

75 = 1 * 3 * 5 ^ 2
75 = 1 * 75 = 3 * 25 = 5 * 15
1) m = 38
n = 37
2) m = 14
n = 11
3) m = 10
n = 5

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем применить метод разности квадратов. Представим левую часть уравнения как разность двух квадратов:

m^2 = n^2 + 75

m^2 - n^2 = 75

Теперь мы можем факторизовать разность квадратов:

(m - n)(m + n) = 75

Мы ищем натуральные числа m и n, поэтому рассмотрим все возможные пары делителей числа 75:

(m - n, m + n) = (1, 75), (3, 25), (5, 15), (15, 5), (25, 3), (75, 1)

Теперь решим каждую из этих пар уравнений:

1. (m - n) = 1, (m + n) = 75 Решая это систему уравнений, получим m = 38, n = 37.

2. (m - n) = 3, (m + n) = 25 Решая это систему уравнений, получим m = 14, n = 11.

3. (m - n) = 5, (m + n) = 15 Решая это систему уравнений, получим m = 10, n = 5.

4. (m - n) = 15, (m + n) = 5 Эта пара не имеет натуральных решений, так как m - n не может быть больше, чем m + n.

5. (m - n) = 25, (m + n) = 3 Эта пара не имеет натуральных решений, так как m - n не может быть больше, чем m + n.

6. (m - n) = 75, (m + n) = 1 Решая это систему уравнений, получим m = 38, n = 37.

Итак, все пары (m, n) натуральных чисел, для которых m^2 = n^2 + 75, равны (38, 37) и (10, 5).