Question

Интеграл dx/(2x^2-5x+6)

Answer 1

2x^3/3-5x^2/2+6x+C.......

Answer 2

Для вычисления данного интеграла мы можем воспользоваться методом частных дробей.

1. Начнем с разложения знаменателя на множители: 2x^2 - 5x + 6 = (2x - 3)(x - 2).

2. Теперь представим исходную дробь в виде суммы двух простых дробей: dx/(2x^2 - 5x + 6) = A/(2x - 3) + B/(x - 2).

3. Приведем общий знаменатель для суммы простых дробей: dx/(2x^2 - 5x + 6) = (A(x - 2) + B(2x - 3))/((2x - 3)(x - 2)).

4. Раскроем скобки в числителе: dx/(2x^2 - 5x + 6) = (Ax - 2A + 2Bx - 3B)/((2x - 3)(x - 2)).

5. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в числителе и знаменателе: Ax + 2Bx = 0x => A + 2B = 0 (для коэффициента при x), -2A - 3B = 1 (для свободного члена).

6. Решим систему уравнений: Умножим первое уравнение на 3 и прибавим ко второму: -2A - 3B + 6A + 9B = 1 => 4A + 6B = 1.

   Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго: -4A - 6B + 4A + 6B = 0 => 0 = 0.

   Обратите внимание, что второе уравнение не дает новых условий, и мы не можем определить значения A и B.

7. Итак, система уравнений имеет бесконечное количество решений. Мы можем выбрать любые значения для A и B. Для удобства вычислений выберем A = 1 и B = -1/2.

8. Теперь мы можем записать разложение исходной дроби: dx/(2x^2 - 5x + 6) = 1/(2x - 3) - 1/2(x - 2).

9. Теперь проинтегрируем каждую простую дробь по отдельности: ∫(dx/(2x - 3)) - ∫(dx/(2(x - 2)) = (1/2)ln|2x - 3| - (1/2)ln|2(x - 2)| + C,

   где C - произвольная постоянная