Question

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

Answer 1

$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$

$e^{-2x^6}=1+(-2x^6)+\frac{(-2x^6)^2}{2!}+\frac{(-2x^6)^3}{3!}+\frac{(-2x^6)^4}{4!}+\frac{(-2x^6)^5}{5!}+\frac{(-2x^6)^6}{6!}+...$

Получили знакочередующийся ряд и это хорошо, так как легко оценить погрешность. Остаток значкочередующегося ряда по модулю не превосходит первого отброшенного слагаемого.

$\int\limits^1_0 {e^{-2x^6}dx=\int\limits^1_0(1+(-2x^6)+\frac{(-2x^6)^2}{2!}+\frac{(-2x^6)^3}{3!}+\frac{(-2x^6)^4}{4!}+\frac{(-2x^6)^5}{5!}+\frac{(-2x^6)^6}{6!}+...} \, )dx =$

$=(x-2\frac{x^7}{7}+2\frac{x^{13}}{13} -\frac{4x^{19}}{57}+\frac{2x^{25}}{75} -\frac{32x^{31}}{(5!\cdot 31}+\frac{64x^{37}}{(6! \cdot 37)}+ ...)|^1_{0}=1-\frac{2}{7}+ \frac{2}{13} - \frac{4}{57}+\frac{2}{75} - \frac{4}{465}+\frac{2}{1665}+...$≈

≈1-0,285714286+0,153846154-0,070174386+0,0266660+0,00860215054-0,0012012012=0,823423136

При этом погрешность не превышает по модулю следующего за 0,0012012012 числа, которое будет явно меньше 0.001

Чтобы вычислить с точностью 0,0001 надо взять еще несколько слагаемых.

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла с точностью до 0.0001 с использованием разложения подынтегральной функции в степенной ряд можно воспользоваться методом численного интегрирования, таким как метод Симпсона или метод тrapezoid.

Однако, перед тем как перейти к численному интегрированию, необходимо разложить подынтегральную функцию в степенной ряд. Это может быть довольно сложной задачей и зависит от конкретной функции.

Давайте рассмотрим пример и разложим функцию f(x) = e^x в степенной ряд в окрестности точки x = 0:

f(x) = e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...

После разложения функции в степенной ряд, мы можем интегрировать каждый член ряда по отдельности. Затем мы суммируем полученные значения интегралов для каждого члена ряда, чтобы получить приближенное значение определенного интеграла.

Для достижения заданной точности (0.0001), мы будем добавлять члены ряда по одному и проверять, когда изменение в результате станет меньше 0.0001. То есть, мы будем вычислять сумму ряда до тех пор, пока следующий член ряда не станет меньше 0.0001.

Возможно, что в вашем вопросе была задумана конкретная функция, для которой нужно разложить в степенной ряд и вычислить определенный интеграл. Если это так, пожалуйста, укажите функцию, чтобы я мог предоставить более точную информацию и решение.