Question

Найти интеграл int: 2x^3*(x^4-6)^5 dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы решить этот интеграл, воспользуемся методом замены переменной. Пусть u = x^4 - 6, тогда du = 4x^3 dx. Разрешим это уравнение относительно x^3: x^4 - 6 = u => x^3 = (u + 6)^(1/3).

Теперь подставим замену в исходный интеграл:

∫ 2x^3 * (x^4 - 6)^5 dx = 2∫ (x^3) * (x^4 - 6)^5 dx = 2∫ [(u + 6)^(1/3)] * u^5 * (1/4) du = (1/2) * (1/4) * ∫ (u + 6)^(1/3) * u^5 du = (1/8) * ∫ (u + 6)^(1/3) * u^5 du.

Теперь мы можем интегрировать по переменной u. Воспользуемся формулой замены переменной для определенного интеграла:

∫ f(g(x)) * g'(x) dx = ∫ f(u) du.

Здесь f(u) = (u + 6)^(1/3) * u^5 и g(x) = x^4 - 6. Таким образом, g'(x) = 4x^3.

∫ (u + 6)^(1/3) * u^5 du = (1/8) * ∫ f(u) du.

Теперь подставим обратную замену: u = x^4 - 6.

(1/8) * ∫ f(u) du = (1/8) * ∫ [(x^4 - 6 + 6)^(1/3)] * (x^4 - 6)^5 dx = (1/8) * ∫ (x^4)^(1/3) * (x^4 - 6)^5 dx = (1/8) * ∫ x^(4/3) * (x^4 - 6)^5 dx = (1/8) * ∫ x^(4/3) * (x^4 - 6)^5 dx.

Теперь мы можем интегрировать по переменной x. Используем формулу интегрирования степенных функций:

∫ x^n dx = (1/(n + 1)) * x^(n + 1) + C,

где C - произвольная постоянная.

Применяя эту формулу к нашему интегралу, получаем:

(1/8) * ∫ x^(4/3) * (x^4 - 6)^5 dx = (1/8) * (1/(4/3 + 1)) * x^(4/3 + 1) * (x^4 - 6)^5 + C = (1/8) * (3/7) * x^(7/3) * (x^4 - 6)^5 + C = (3/56