Question

Задача 5. Петя расставил в клетки таблицы 6 × 6 разноцветные фишки так, что в каждой клетке находится ровно одна фишка, и рядом с каждой фишкой есть хотя бы две фишки того же цвета. (Считается, что две фишки находятся рядом, если они расположены в соседних по стороне клетках). Какое наиболь- шее количество разноцветных фишек могло быть использовано? (Приведите пример расстановки фишек и докажите, что больше цветов быть не может.)

Answer 1

Ответ:

12

Пошаговое объяснение:

Количество клеток 6·6=36. По условию для каждого цвета участвует в таблице самое меньшее 3 фишки. 36:3=12 - это наибольшее количество использованных цветов фишек. Расстановка может быть такой:

111222

333444

555666

777888

999ааа

бббссс

 

Answer 2

Для нахождения наибольшего количества разноцветных фишек, которое может быть использовано, можно рассмотреть следующую расстановку:

cssCopy code
A B A B A B
B A B A B A
A B A B A B
B A B A B A
A B A B A B
B A B A B A

В этой расстановке используется 2 разных цвета фишек: A и B.

Теперь докажем, что больше цветов быть не может. Предположим, что существует расстановка с большим количеством разных цветов.

Рассмотрим клетку в углу таблицы. Рядом с ней должно быть как минимум две фишки того же цвета. Однако, угловая клетка имеет только две соседние клетки, поэтому она может иметь фишки только двух разных цветов.

Предположим, что в расстановке есть клетка на краю таблицы, но не на углу. Рядом с ней должно быть как минимум три фишки того же цвета. Однако, краевая клетка имеет только три соседние клетки, и все они уже заняты фишками. Поэтому в краевой клетке может быть только один цвет фишки.

Таким образом, каждая клетка, кроме угловых, может иметь только один цвет фишки. Из этого следует, что максимальное количество разных цветов фишек равно двум.

Таким образом, ответ на задачу: наибольшее количество разноцветных фишек, которое могло быть использовано, равно двум.