Question

Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями y=-x^2-4x и y=x+4

Answer 1

Решение площади фигуры, ограниченной линиями y = 4x - x^2, y = 4 - x.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 - 4x и y = x + 4, нам необходимо найти точки их пересечения.

Сначала приравняем эти два уравнения друг к другу: -x^2 - 4x = x + 4

Перенесем все члены в одну сторону и приведем уравнение к квадратному виду: -x^2 - 4x - x - 4 = 0 -x^2 - 5x - 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Применяя квадратное уравнение, получим: x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4(-1)(-4))) / (2(-1)) x = (5 ± √(25 - 16)) / 2 x = (5 ± √9) / 2 x = (5 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x = 4 и x = -1.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения x в одно из уравнений.

При x = 4: y = x + 4 = 4 + 4 = 8

При x = -1: y = x + 4 = -1 + 4 = 3

Итак, у нас есть две точки пересечения: (4, 8) и (-1, 3).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя линиями. Фигура находится между кривыми y = -x^2 - 4x и y = x + 4, а также между точками пересечения (4, 8) и (-1, 3).

Поскольку одна кривая находится ниже другой в этом интервале, площадь фигуры может быть найдена с помощью интеграла. Нашей задачей является вычисление определенного интеграла от x = -1 до x = 4 от разности функций этих двух кривых:

Площадь = ∫[от -1 до 4] (x + 4) - (-x^2 - 4x) dx

Вычисляя этот интеграл, получим площадь фигуры.