Question

СРО0000чнО!!! Решите систему уравнений: x^2+y^2=13, x^3+y^3+x^2y+xy^2=65;

Answer 1

Упростим второе уравнение

$x^3+y^3+x^2y+xy^2=x(x^2+y^2)+y(x^2+y^2)=(x+y)(x^2+y^2)$

Подставляем теперь x^2+y^2 = 13

$13(x+y)=65\\ \\ x+y=5~~~~\Rightarrow~~~ x=5-y$

$(5-y)^2+y^2=13\\ \\ 25-10y+y^2+y^2=13\\ \\ 2y^2-10y+12=0\\ \\ y^2-5y+6=0\\ \\ y_1= 3;~~~~ y_2=2\\ x_1=5-3=2\\ x_2=5-2=3$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Я воспользуюсь методом подстановки.

Начнем с первого уравнения: x^2 + y^2 = 13 ------ (1)

Решим его относительно одной из переменных, скажем, y: y^2 = 13 - x^2 y = √(13 - x^2) ------ (2)

Теперь подставим выражение для y во второе уравнение: x^3 + (√(13 - x^2))^3 + x^2 * (√(13 - x^2)) + x * (√(13 - x^2))^2 = 65

x^3 + (13 - x^2)√(13 - x^2) + x^2√(13 - x^2) + x(13 - x^2) = 65

Упростим выражение: x^3 + 13√(13 - x^2) - x^2√(13 - x^2) + 13x - x^3 = 65

13√(13 - x^2) - x^2√(13 - x^2) + 13x = 65

Теперь обозначим √(13 - x^2) как t: 13t - x^2t + 13x = 65 ------ (3)

Теперь у нас есть два уравнения: (2) и (3). Заменим y в уравнении (3) на √(13 - x^2): 13√(13 - x^2) - x^2√(13 - x^2) + 13x = 65

Теперь у нас есть одно уравнение с одной неизвестной переменной x. Решим его:

13t - x^2t + 13x = 65

Выразим x через t: 13x - x^2t = 65 - 13t x(13 - xt) = 65 - 13t x = (65 - 13t) / (13 - xt) ------ (4)

Теперь подставим это выражение для x в уравнение (2): y = √(13 - x^2) y = √(13 - ((65 - 13t) / (13 - xt))^2) ------ (5)

Таким образом, мы получили выражения для x (уравнение (4)) и y (уравнение (5)) через параметр t. Теперь мы можем выбрать значения для t и найти соответствующие значения x и y.

Однако, следует отметить, что в данной системе уравнений присутствуют кубические и квадратные корни, что делает аналитическое решение довольно сложным. Можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод Монте-Карло, для