Question

Привести уравнение кривой второго порядка f(х;у)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах+Ву+С=0.Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x^2+y^2-6x+5=0; 2x+y-6=0

Answer 1

Если в заданном уравнении кривой  x² + y²  - 6x + 5 = 0 выделить полные квадраты, то получим уравнение окружности:
 (x²  - 6x + 9) - 4 + y²=0
 (х - 3)² + у² = 2².
Это уравнение окружности с центром в точке (3; 0) и радиусом 2.
Для определения точек пересечения её с прямой  2x+y-6=0 надо решить систему из двух уравнений - получим координаты общих точек.
{x²+y² -6x+5=0;
{2x+y-6 = 0,        y = 6 - 2x  подставим в первое уравнение.
x²  + (6 - 2х)²  - 6x + 5 = 0, 
x²  + 36 -  24х + 4х²  - 6x + 5 = 0,
5х² - 30х + 41 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-30)^2-4*5*41=900-4*5*41=900-20*41=900-820=80;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁ = (√80-(-30))/(2*5) = (√80+30)/(2*5) = (√80+30)/10 = (√80/10)+(30/10) = (√80/10)+3 = (3 + 2/√5) ≈ 3,,894427;x₂ = (-√80-(-30))/(2*5) = (-√80+30)/(2*5 )= (-√80+30)/10 = (-√80/10)+(30/10) = (-√80/10)+3 = 3-(2/√5) ≈ 2,105573.
Находим соответствующие координаты этих точек по оси Оу:
 y₁ = 6 - 2x₁ = 6 - 2*(3 + 2/√5) = 6 - 6 - 4/√5 = -4/√5,
 у₂ = 6 -2х₂ = 6 - 2*(3 - 2/√5) = 6 - 6 + 4/√5 = 4/√5.

Ответ: ((3 + 2/√5); -4/√5)
            ((3 - 2/√5);  4/√5).