Question

Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Найдите радиус  окружности, если АС= 3 корень из 3 , а угол D равен 120

Answer 1

Ответ:

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах вписанных четырехугольников и окружностей.

Свойства вписанных четырехугольников:

1. Противоположные углы вписанного четырехугольника равны. 2. Сумма углов вписанного четырехугольника равна 360 градусов.

Свойства окружностей:

1. Любая хорда окружности делит ее на два сегмента, и произведение длин этих сегментов равно. 2. Любой радиус, проведенный к точке касания окружности и хорды, является перпендикуляром к хорде.

Решение:

По условию, угол D равен 120 градусам, а длина отрезка AC равна 3 + корень из 3.

Поскольку угол D равен 120 градусам, угол ADC также равен 120 градусам. Так как АС является хордой, то проведем радиус OD, который будет перпендикулярен хорде AC в точке D.

По свойству окружности, произведение длин сегментов хорды AC будет равно произведению длин AD и CD:

AC * BC = AD * CD

Мы знаем, что AC = 3 + корень из 3. Пусть радиус окружности равен R.

Так как OD является перпендикуляром к хорде AC, то AD = CD = R.

Теперь мы можем записать уравнение:

(3 + корень из 3) * BC = R * R

Так как угол ADC равен 120 градусов, то угол ABC равен 60 градусов (половина от 120 градусов).

Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины BC:

BC = 2 * R * sin(60)

Подставляем это значение в уравнение:

(3 + корень из 3) * 2 * R * sin(60) = R * R

Упрощаем выражение:

(3 + корень из 3) * R = R^2

Переносим все в одну сторону:

R^2 - (3 + корень из 3) * R = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение.

Решение этого квадратного уравнения даст нам два возможных значения для радиуса.