Question

1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. 2. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каж­дая из них делит угол прямоугольника в отношении 3:6. 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон. 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, ADB = BDC = 30°. Найдите длину BC и AD, если периметр трапеции равен 80 см. 5*. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пе­ресекаются в точке М1. На продолжении прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А− В− К, D− С− Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2, М1M2 = 8 см. Найдите AD.

Answer 1

Давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Периметр параллелограмма:

Пусть \( x \) - длина короткой стороны. Тогда длина длинной стороны будет \( x + 5 \). Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон:

\[ P = 2x + 2(x + 5) = 4x + 10 \]

Условие задачи гласит, что периметр равен 50 см:

\[ 4x + 10 = 50 \]

Решим это уравнение:

\[ 4x = 40 \]

\[ x = 10 \]

Таким образом, короткая сторона равна 10 см, а длинная - \( 10 + 5 = 15 \) см.

2. Угол между диагоналями прямоугольника:

Пусть \( \alpha \) - угол между диагоналями. Тогда каждая диагональ делит угол прямоугольника в отношении 3:6, что означает, что угол между диагоналями составляет \( 3\alpha \).

3. Углы параллелограмма:

Если одна из диагоналей параллелограмма является высотой, то она делит параллелограмм на два равных треугольника. Таким образом, углы параллелограмма будут равны углам этих треугольников.

4. Длина BC и AD в трапеции:

Пусть \( BC = a \) и \( AD = b \). Тогда, учитывая перпендикулярность диагонали BD к боковой стороне AB и углы ADB и BDC, можно составить систему уравнений:

\[ a + b + a/2 + b/2 = 80 \]

\[ 30 + 30 + a/2 + b/2 = 180 \]

Решив эту систему, вы найдете значения \( a \) и \( b \).

5. Длина AD в параллелограмме:

Обозначим \( AM_1 = x \). Тогда, так как \( M_1M_2 = 8 \), \( BM_2 = x + 8 \). Также, так как биссектрисы углов пересекаются, мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти \( x \).

\[ \frac{BM_1}{M_1M_2} = \frac{BC}{AD} \]

\[ \frac{x}{8} = \frac{BC}{AD} \]

Также, используя тот факт, что \( \triangle ABC \) и \( \triangle BCD \) подобны, мы можем записать:

\[ \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{CD} \]

\[ \frac{BC}{a} = \frac{BC}{a+b} \]

Это дает \( a + b = BC \).

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \frac{x}{8} = \frac{a+b}{AD} \]

\[ a + b = x + 8 \]

Решив эту систему уравнений, вы найдете значение \( AD \).