Question

Как найти градусную меру дуг вписанног четырёхугольника

Answer 1

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла. Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, полупериметром p и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны :

$$\sin A = \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{cd}$$

$$\cos A = \frac{ac+bd}{cd}$$

$$\tan A = \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ac+bd}$$

$$\cot A = \frac{ac+bd}{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$$

Из этих формул можно выразить градусную меру угла A через длины сторон четырёхугольника. Например, если известны стороны a, b, c, d, то можно найти полупериметр p по формуле:

$$p = \frac{a+b+c+d}{2}$$

Затем можно найти синус угла A по формуле:

$$\sin A = \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{cd}$$

И, наконец, можно найти градусную меру угла A по формуле:

$$A = \arcsin \left(\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{cd}\right)$$

Аналогично можно найти градусную меру других углов четырёхугольника. Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, равна половине градусной меры противоположного центрального угла. То есть, если вписанный угол опирается на дугу с градусной мерой x, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу, имеет градусную меру 2x. Следовательно, чтобы найти градусную меру дуги, на которую опирается вписанный угол, нужно найти градусную меру этого угла и умножить её на 2. Например, если вписанный угол A имеет градусную меру 30°, то дуга, на которую он опирается, имеет градусную меру 60°.